研究テーマ

研究テーマのキーワードは，プロフィールにも書きましたように，数値解析，関数系，補間，最良近似です．関数の集まり(関数空間)に距離が導入された空間で，関数近似の研究を行っています．関数近似は，近似する関数の集まり（近似関数空間）と近似される関数（被近似関数）を用意することから始まります．そして，与えられた被近似関数との距離が最も小さくなる近似関数（最良近似）を求めたり，補間によって被近似関数の近似関数を求めたりします．追いかけてみたい研究テーマはいくつかあるのですが，十分な用意が出来ていませんので，現在の研究テーマの主なものを２つ挙げます．

■多項式補間からテイラー展開の一般化へ

関数 f(x)に対して，xy-平面上に x 座標が相異なる n+1 個のデータ点(x_0, f(x_0)) , … , (x_n, f (x_n)) が与えられたとします． このとき，これらのデータ点を通るような高々n 次多項式関数 p_n (x) が一意的に存在することがわかっています．x_i (i=0,…,n) 以外の x の値における f(x) の値を p_n(x) で近似することを多項式補間といい，p_n(x) を補間多項式，各x_i を標本点と呼ばれています．また，標本点が重複する場合の多項式補間も考えることができます．この場合は各 x_i において，その標本点の重複度に応じた f(x) の高階導関数の値まで一致すると考えることによって p_n (x) が一意的に定まることがわかっています．この多項式で標本点以外の x における近似値を考えることをHermite 補間といいます．関数 f(x) が1個の標本点で十分微分可能であれば，その標本点に対する f(x) のHermite 補間多項式はその標本点を中心とするテイラー多項式になることがわかっています． このことから，f(x) が2個の標本点で無限回微分可能なときに，その2点に対する f(x) のHermite 補間多項式の列の極限が f(x) に一致するとき，f(x) はその2点を中心として2点テイラー展開と呼ぶことにします．北原研究室では関数の2点テイラー展開およびその一般化についての研究を2011年度以降行っています．これまで得られている主な結果としては，
・1点を節点とする連続な区分的多項式関数は2点テイラー展開可能
・2点テイラー展開は項別微分可能
・節点は2個の標本点を端点とする線分を標本点における重複度の比に内分する点に一致する
などがあります．また，テイラー展開可能な関数のクラスよりも2点テイラー展開可能な関数のクラスの方が広いこともわかっています．2点テイラー展開可能性の本質的な部分を取り出して，より一般的な関数系を使って，テイラー展開タイプの関数の展開が考えることが出来そうなところまで来ているのですが，明確な定義を得ようと模索している最中です．

■チェビシェフ多項式

第１種チェビシェフ多項式や第２種チェビシェフ多項式は解析の分野で多くの応用が見られる非常に有用な多項式であることは良く知られています．区間 [-1,1] 上で x^{n+1} の高々 n 次の多項式関数による最大値ノルムの最良近似を p，L1ノルムの最良近似を q とすると，x^{n+1} - pやx^{n+1}-q はそれぞれ第１種チェビシェフ多項式，第２種チェビシェフ多項式の定数倍と等しくなることがわかっています．このことから，第１種チェビシェフ多項式や第２種チェビシェフ多項式の特徴付けやチェビシェフ多項式の一般化に取り組んでいるところです．このテーマはこれまでも取り組んでいるのですが，納得の行く結果には至っていないのが現状です．何度も取り組む中で，良い結果が得れらるような方向性が見えてくればとあきらめずに研究をしているところです．

２０００年以降の研究・教育活動 （すべての研究・教育活動はこちらを見てください．）

■著書・編集

1. Scientiae Mathematicae Japonicae Vol.76, No.2, Edited by Y. Hattori and K. Kitahara.

■論文（関数空間，関数近似関係）

1. K. Kitahara and K. Kuri, On a Theorem of Jackson Type in K dimensions, Numer. Funct. Anal. and Optimiz., 21(2000), 465 - 470.
2. K. Kitahara and Y. Sakamori, On an Algorithm of Remez Type, in Trends in Approximation Theory (Eds. K. Kopotun, T. Lyche and M. Neamtu), Vanderbilt University Press, 2000, 161 - 167.
3. K. Kitahara, T. Okada and Y. Sakamori, Some Problems on Polynomial Approximation, in Unsolved Problems on Mathematics for the 21st Century (Eds. J. M. Abe and S. Tanaka), IOS Press, 2001, 211 - 221.
4. K. Kitahara and T. Okada, On vector-valued function spaces with Helly's property, Approx. Theory and its Appl., 17(2001), 86 - 100.
5. K. Kitahara, F. Shimizu and Y. Udagawa, On estimations of the norms of the Lagrange Interpolation Operators, in Constructive Theory of Functions, Varna 2002 (Ed. B. D. Bojanov), Darba, 2003, 333 - 338.
6. K. Kitahara, On Chebyshev type theory, Scientiae Mathematicae Japonicae Online, e-2005(2005), 563 - 573.
7. K. Kitahara and K. Horiuchi, A Note on Approximation by Chebyshev Systems, East J. Approx., 12(2006), 343 - 352.
8. K. Kitahara, Some results related to Descartes' rule of signs, East J. Approx., 14(2008), 467 - 484.
9. K. Kitahara, A Note on best selection of quasi Descartes systems, Revue D'anlyse Numerique et de Theorie de L'approximation, 38(2009), 154 - 163.
10. K. Kitahara, Functions approximated by any sequence of interpolation polynomials, Anal. Theory Appl., 26(2010), 7 -12.
11. Y. Nishino and K. Kitahara, Functions approximated by any sequence of interpolating generalized polynomials, International Journal of Pure and Applied Mathematics, 64 (2010), 411 - 420.
12. K. Kitahara, T. Yamada and K. Fujiwara, A Note on Two Point Taylor Expansion II, International Journal of Pure and Applied Mathematics, 86 (2013), 65-82
13. K. kitahara and T. Okuno, A Note on Two Point Taylor Expansion III, International Journal of Modeling and Optimization Vol.4(2014), 287 - 291.
14. K. Shimada, S. Taguchi and K. Kitahara, A note on multiplicity weight of nodes of two point Taylor expansion, Applied Mathematical Sciences. 11(2017), 3017 - 3032.

■論文（関数空間・関数近似以外，教育関係）

1. A. Kubo and K. Kitahara, A simple number theoretic problem II, Scientiae Mathematicae Japonicae Online, e-2006(2006), 289 - 292.
2. Y. Hattori amd K. Kitahara, In Memoriam Kiyoshi Iseki:29 June 1919 - 14 March 2011, Scientiae Mathematicae Japonicae Vol.76(2013), 153 - 169.
3. K. Kitahara, T. Shimotomai and S. Nagata, On a number theoretic problem by Blanc, Scientiae Mathematicae Japonicae Vol.76(2013), 281 - 288.
4. C. Omoto and K. Kitahara, A visit to the weak elementary Euclidean Pasch free geometry, Scientiae Mathematicae Japonicae Vol.76(2013), 367 - 374.

■発表

1. K. Kitahara and Y. Sakamori,
   On a Algorithm of Remez Type, May 17 - 20(19), 2000, Trends in Approximation Theory, Nashville, Tennessee, USA.
2. K. Kitahara, Best Approximations in C[0,1] Endowed with an Oscillation Norm, June 4 - 8(8), 2001, Internatinal Conference of Computational Harmonic Analysis, Hong Kong, Peoeple's Republic of China.
3. K. Kitahara, F. Shimizu and Y. Udagawa, On estimations of the norms of the Lagrange interpolation operators, June 19 - 23(22), 2002, Constructive Theory of Functions Varna 2002, Varna, Bulgaria.
4. Y. Nishino and K. Kitahara, Functions approximated by any sequence of interpolating generalized polynomials, June 3 - 10(8), 2010, Constructive Theory of Functions, Sozopol, Bulgaria.
5. K. Kitahara, Taizo Chiyonobu and Hirokazu Tsukamoto, A note on two point Taylor expansion, August 22 - 28(23), 2011, Paul Turan Memorial Conference, Budapest, Hungary.
6. K. Kitahara and T. Okuno, A note on two point Taylor expansion III, July 18 - 19(19), 2014, The 3rd International Conference on Pure and Applied Mathematics, Madrid, Spain.
7. K. Shimada, S. Taguchi and K. Kitahara, A Note on Multiplicity Weight of Nodes of Two Point Taylor Expansion, January 21, 2017, The 7th International Conference on Appiled Physics and Mathematics, Tokyo, Japan.
8. K. Kitahara and Y. Hayashi, A note on generalized Chebyshev polynomials, December 8, 2018, National Conference on Mathematical Analysis and Mathemtical Modelling, Kolkata, India.