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研究室日誌 みなさんへ 数理科学科 理工学部 関西学院大学
Kitahara Lab All Rights Reserved (2019年5月17日更新)

研究テーマ

研究テーマのキーワードは,プロフィールにも書きましたように,数値解析, 関数系,補間,最良近似です.関数の集まり(関数空間)に距離が導入された 空間で,関数近似の研究を行っています.関数近似は,近似する関数の集まり (近似関数空間)と近似される関数(被近似関数)を用意することから始ま ります.そして,与えられた被近似関数との距離が最も小さくなる近似関数 (最良近似)を求めたり,補間によって被近似関数の近似関数を求めたりし ます.追いかけてみたい研究 テーマはいくつかあるのですが,十分な用意が出来ていませんので,現在の 研究テーマの主なものを2つ挙げます.


■テイラー展開の一般化

関数 f(x) に対して,xy-平面上に x 座標が相異なる n+1 個のデータ点(x_0, f(x_0)) , … , (x_n, f (x_n)) が与えられたとします. このとき,これらのデータ点を通るような高々n 次多項式関数 p_n (x) が一意的に存在することがわかっています.x_i (i=0,…,n) 以外の x の値における f(x) の値を p_n(x) で近似することを多項式補間といい,p_n(x) を補間多項式,各x_i を標本点と呼ばれています.また,標本点が重複する場合の多項式補間も考えることができ,この場合は各 x_i の重複度に応じた f(x) の高階導関数の値を用いて p_n (x) を一意的に定め,これをHermite 補間といいます.関数 f(x) が1つの標本点で十分微分可能であれば,その標本点に対する f(x) のHermite 補間多項式はその標本点を中心とするテイラー多項式になることがわかっています. 同様にして,f(x) がある2つの標本点で無限回微分可能なときに,その2点に対する f(x) のHermite 補間多項式の列の極限をその2点を中心とする2点テイラー展開と呼ぶことにします.北原研究室では関数の2点テイラー展開およびその一般化についての研究を2011年度以降行っていて,これまで得られている主な結果としては,
・1点を節点とする区分的多項式関数は2点テイラー展開可能
・2点テイラー展開は項別微分可能
・節点は2つの標本点をそれぞれの重複度の比に内分する点に一致する
などがあります.また,テイラー展開可能な関数のクラスよりも2点テイラー展開可能な関数のクラスの方が広いこともわかっています.なぜ2点テイラー展開の方がより広くなるのかという本質的な部分を取り出して,より一般的な関数系で関数の展開の研究を進められればなあという気持ちでいます.


■一般化されたチェビシェフ多項式

第1種チェビシェフ多項式や第2種チェビシェフ多項式は解析の分野で多くの応用が見られる非常に有用な多項式であることは良く知られています.区間 [-1,1] 上で x^n+1 の高々 n 次の多項式関数による最大値ノルムの最良近似を p,L1ノルムの最良近似を q とすると,x^n+1 - pやx^n+1-q はそれぞれ第1種チェビシェフ多項式,第2種チェビシェフ多項式の定数倍と等しくなることがわかっています.このことから,多項式関数系を無限完全チェビシェフ系と呼ばれる関数系に一般化し,最大値ノルムやL1ノルムを他のノルムでも考えることによって,一般化されたチェビシェフ多項式を定義してみました.いつでも一般化されたチェビシェフ多項式が定義されるわけではないので,現在は,その定義可能性を様々な条件の下で調べているところです.この辺りの結果が出揃ってくると,一般化されたチェビシェフ多項式の零点の分布の状態と無限完全チェビシェフ系で張られる空間の稠密性との関係を調べること出来ればと期待しているところです.


・研究の実績報告書(研究詳細や論文の掲載、学会発表情報など・PDF)

平成22年度(無限チェビシェフ系による関数補間)      平成23年度(2点テイラー展開)

2000年以降の研究・教育活動 (すべての研究・教育活動はこちらを見てください.)

■著書・編集

  1. Scientiae Mathematicae Japonicae Vol.76, No.2, Edited by Y. Hattori and K. Kitahara.

■論文(関数空間,関数近似関係)

  1. K. Kitahara and K. Kuri, On a Theorem of Jackson Type in K dimensions, Numer. Funct. Anal. and Optimiz., 21(2000), 465 - 470.
  2. K. Kitahara and Y. Sakamori, On an Algorithm of Remez Type, in Trends in Approximation Theory (Eds. K. Kopotun, T. Lyche and M. Neamtu), Vanderbilt University Press, 2000, 161 - 167.
  3. K. Kitahara, T. Okada and Y. Sakamori, Some Problems on Polynomial Approximation, in Unsolved Problems on Mathematics for the 21st Century (Eds. J. M. Abe and S. Tanaka), IOS Press, 2001, 211 - 221.
  4. K. Kitahara and T. Okada, On vector-valued function spaces with Helly's property, Approx. Theory and its Appl., 17(2001), 86 - 100.
  5. K. Kitahara, F. Shimizu and Y. Udagawa, On estimations of the norms of the Lagrange Interpolation Operators, in Constructive Theory of Functions, Varna 2002 (Ed. B. D. Bojanov), Darba, 2003, 333 - 338.
  6. K. Kitahara, On Chebyshev type theory, Scientiae Mathematicae Japonicae Online, e-2005(2005), 563 - 573.
  7. K. Kitahara and K. Horiuchi, A Note on Approximation by Chebyshev Systems, East J. Approx., 12(2006), 343 - 352.
  8. K. Kitahara, Some results related to Descartes' rule of signs, East J. Approx., 14(2008), 467 - 484.
  9. K. Kitahara, A Note on best selection of quasi Descartes systems, Revue D'anlyse Numerique et de Theorie de L'approximation, 38(2009), 154 - 163.
  10. K. Kitahara, Functions approximated by any sequence of interpolation polynomials, Anal. Theory Appl., 26(2010), 7 -12.
  11. Y. Nishino and K. Kitahara, Functions approximated by any sequence of interpolating generalized polynomials, International Journal of Pure and Applied Mathematics, 64 (2010), 411 - 420.
  12. K. Kitahara, T. Yamada and K. Fujiwara, A Note on Two Point Taylor Expansion II, International Journal of Pure and Applied Mathematics, 86 (2013), 65-82
  13. K. kitahara and T. Okuno, A Note on Two Point Taylor Expansion III, International Journal of Modeling and Optimization Vol.4(2014), 287 - 291.
  14. K. Shimada, S. Taguchi and K. Kitahara, A note on multiplicity weight of nodes of two point Taylor expansion, Applied Mathematical Sciences. 11(2017), 3017 - 3032.

■論文(関数空間・関数近似以外,教育関係)

  1. A. Kubo and K. Kitahara, A simple number theoretic problem II, Scientiae Mathematicae Japonicae Online, e-2006(2006), 289 - 292.
  2. Y. Hattori amd K. Kitahara, In Memoriam Kiyoshi Iseki:29 June 1919 - 14 March 2011, Scientiae Mathematicae Japonicae Vol.76(2013), 153 - 169.
  3. K. Kitahara, T. Shimotomai and S. Nagata, On a number theoretic problem by Blanc, Scientiae Mathematicae Japonicae Vol.76(2013), 281 - 288.
  4. C. Omoto and K. Kitahara, A visit to the weak elementary Euclidean Pasch free geometry, Scientiae Mathematicae Japonicae Vol.76(2013), 367 - 374.

■発表

  1. K. Kitahara and Y. Sakamori,
    On a Algorithm of Remez Type, May 17 - 20(19), 2000, Trends in Approximation Theory, Nashville, Tennessee, USA.
  2. K. Kitahara, Best Approximations in C[0,1] Endowed with an Oscillation Norm, June 4 - 8(8), 2001, Internatinal Conference of Computational Harmonic Analysis, Hong Kong, Peoeple's Republic of China.
  3. K. Kitahara, F. Shimizu and Y. Udagawa, On estimations of the norms of the Lagrange interpolation operators, June 19 - 23(22), 2002, Constructive Theory of Functions Varna 2002, Varna, Bulgaria.
  4. Y. Nishino and K. Kitahara, Functions approximated by any sequence of interpolating generalized polynomials, June 3 - 10(8), 2010, Constructive Theory of Functions, Sozopol, Bulgaria.
  5. K. Kitahara, Taizo Chiyonobu and Hirokazu Tsukamoto, A note on two point Taylor expansion, August 22 - 28(23), 2011, Paul Turan Memorial Conference, Budapest, Hungary.
  6. K. Kitahara and T. Okuno, A note on two point Taylor expansion III, July 18 - 19(19), 2014, The 3rd International Conference on Pure and Applied Mathematics, Madrid, Spain.
  7. K. Shimada, S. Taguchi and K. Kitahara, A Note on Multiplicity Weight of Nodes of Two Point Taylor Expansion, January 21, 2017, The 7th International Conference on Appiled Physics and Mathematics, Tokyo, Japan.
  8. K. Kitahara and Y. Hayashi, A note on generalized Chebyshev polynomials, December 8, 2018, National Conference on Mathematical Analysis and Mathemtical Modelling, Kolkata, India.


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