この文章は大学1年生の微分積分の授業の配布プリントとして OpenOffice3.01 で作成したものを html 出力して若干の手を加えたものである．（pdf ファイルはこちら． OpenOffice の数式編集機能を使うのは初めてなので結構大変だった． html 出力すると数式がグレーっぽくなり見にくい．） これに関連して，フリーの数学ソフトウエア Geogebra を用いて， Javaを使ったインタラクティブなテイラー展開のページを作成した （指数関数の例と正弦関数の例）． 授業期間が終了しても残しておくことにする． （7/4/09 追記）
関数とは
の値に対して
の値がただ1つ定まる規則のことだが，
微分や積分など公式を使って式の計算をしていると，
「値」のことを忘れがちである．ある点の近くでの関数の値の大きさに注目し，
グラフや数値の計算を通してテイラーの定理の理解への第一歩となることを目指す．
例1
の
の近くでの値を考えよう．のグラフは右の図のようになる．の値が0に近いと
より
は小さく，
, 
は順に更に小さくなる．
したがって，
を低い次数で打ち切った多項式の値は，
の近くでは
の値に近いはずである．実際，
のグラフは下図の通りになる（のグラフは点線で表示）．
一番左の
はにおける
の接線である．の近くでは，
と
の違いはグラフからは読み取りにくいが，
に比べるとに近づいているのがわかる．
たとえば，
における値を比べてみると，
のように次数を上げると値が近づいていくのがわかる．
のにおける接線の方程式は，
だから，
の係数，つまりの定数項
と1次の係
数
は
により与えられていることがわかる．
2次以上の項の係数も微分と関係がある．
一般の4次式
で考えよう．これにを代入すると，
がわかり，
にを代入すると
がわかる．さらに微分してを代入することを続けていこう．を
回微分したものを
と表す．
にを代入すると
，2次の係数は
で与えられる．
にを代入すると
，3次の係数は
で与えられる．
だから，4次の係数は
で与えられる．こうして，4次多項式は
のように係数を微分を用いて表すことができることがわかった．
例2 多項式でない関数の例として指数関数
をとりあげよう．
だからにおける
の接線の方程式は，
で与えられる．
と
のグラフは右図のようになる．の近くで
との値が近いことがグラフからわかる．
例1にならって，から次多項式
を作ろう．
より，
となる．作り方から，
が成り立つ．
のグラフは下図のようになる（のグラフは点線で表示）．
を大きくしていくと
がに近づいていくのがわかる．
たとえば，における値を比べてみると，
のように次数を上げると値が近づいていくのがわかる（小数点以下4桁の近似値）．
の近くで，とが「近い」ということを別の形で見てみよう．
のとき，
となる．
最後の等号は
における
の微分係数が
1
であることを表している．
のとき，
であり，
となる．
これはにおいてが連続であることを表している．
のとき，ロピタルの定理より，
がわかる．一般のの場合もロピタルの定理を繰り返し使うと，
であることがわかる．の値がゼロに近いとき
はが大きいほど小さいから，
上の式はがゼロに近づくとき
は
よりもずっと速くゼロに近づくことを意味している．
指数関数を例に説明したが，一般のの場合，の近くに限らず一般に
の近くの場合
（テイラーの定理），
（剰余項）の表示式（ラグランジュの剰余項）とその大きさの評価，などメインの話は教科書
（松木敏彦『理工系
微分積分』学術図書出版）に沿って授業で説明する．
(2009年5月2日作成)