京都大学数理解析研究所プロジェクト研究（平成１８年度）
グレブナー基底の理論的有効性と実践的有効性
１９６０年代、Buchberger と廣中平祐によって独立に発見されたグレブナー基底の概念は、 多項式方程式などを取り扱うアルゴリズムを与えるものであり、 近年、コンピュータの目覚ましい発達の恩恵を受け、劇的な発展を遂げた。 『グレブナー基底』は現代数学を象徴するキーワードの一つであり、 その理論と実践は、可換環論、代数幾何などの純粋数学のみならず、 離散数学、整数計画、符号理論、統計数学などの応用数学、 情報科学においても深い影響を及ぼしている。
当該プロジェクト研究は、純粋数学、応用数学を問わず、 グレブナー基底の理論と実践の研究に携わる国内、 海外の研究者が一堂に会し、セミナー、研究集会、 国際会議などを通し、自由な雰囲気の中で、最新情報の交換、 活発な議論と討論を重ねる貴重な機会となる。それによって、 異なる研究領域を専門とする研究者が、グレブナー基底を巡る斬新な視点と 問題意識を共有することが可能となり、以て理論と実践の両面から 相互的かつ多角的にグレブナー基底の研究が飛躍的に発展すると期待される。
当該プロジェクト研究の骨格を成す企画は、２件の RIMS 共同研究、 ２件の RIMS 研究集会、１件の国際研究集会であるが、 それに加え、若手研究者育成の一環として、非専門家を対象とする 『グレブナー基底夏の学校』を計画している。 それぞれの企画の概要を下記に記載する。
- RIMS 共同研究（１１５教室）
- 『計算代数解析とその周辺』
- ２００６年 ６月 ６日（火曜日） 〜 ６月 ８日（木曜日）
- 研究代表者：大阿久俊則（東京女子大学）
- 暫定プログラム
- 英文アブストラクト集（作成中）
グレブナー基底のＤ加群の理論への応用は１９９０年代後半 から本格的に始まり、Ｄ加群の基本的な不変量である特性 多様体、制限、b関数などの計算アルゴリズムが確立した。 また、超幾何微分方程式系などの具体例への理論的および 計算実験的な研究も多くなされている。当該分野では日本は 研究拠点の一つであるが、研究者が一堂に会して共同研究 を行う機会はほとんどなかった。当該共同研究では、まず、 各研究者が最近の研究成果を報告し、参加者との討論など によって斬新な発展の方向を探ることを目指す。
- KIAS-RIMS 共同研究（１１５教室）
- 『グレブナー基底の効率的計算とそれを基盤とする数学アルゴリズム』
- ２００６年 ７月３１日（月曜日） 〜 ８月 ４日（金曜日）
- 研究代表者：横山和弘（立教大学）
- 暫定プログラム(KIAS)
- 暫定プログラム(RIMS)
近年、グレブナー基底は基本計算として様々な数学 分野での具体的計算に応用されている。当該研究集会 では、グレブナー基底の効率的な計算法と実装を中心 とし、それを基盤とする効率的な数学計算アルゴリズム について、計算量評価から計算の実際性まで、最新の 成果を交換し、実際面でのグレブナー基底計算の有効性 や今後の方向性について議論する。
- グレブナー基底夏の学校（４２０教室）
- ２００６年 ８月２８日（月曜日） 〜 ９月 １日（金曜日）
大学院生、学部学生などを含む非専門家を対象とした グレブナー基底の教育的な講演を、専門分野の異なる 研究者１０人が解説する。講演者１０人に原稿を依頼し、 テキストを出版し、それを使う。テキストは軽い読み物風 の論説集として、数学書房から出版する。 講演／執筆者は
横山 和弘、佐藤 洋祐、大杉 英史、大阿久俊則、 齋藤 睦、
竹村 彰通、坂田 年男、松井 泰子、 阪田省二郎、村井 聡。
詳細については、 こちらをご覧下さい。
- RIMS 研究集会（４２０教室）
- 『計算代数統計の展開』
- ２００６年１１月 ６日（月曜日） 〜 １１月１０日（金曜日）
- 研究代表者：竹村彰通（東京大学）
- プログラム
統計学その他の応用数学の分野で、最近になって代数計算 の有効性が注目を浴びている。それはグレブナー基底の 手法の発展などにより、離散性や組合せ構造を持つ具体的 な問題の解法として代数的方法の有効性が認識されてきた ことによる。当該研究集会では、統計学を含む応用数学の 具体的諸問題とそれらの代数的解法について講演と討論を 行う。
- RIMS 研究集会（４２０教室）
- 『計算可換代数と計算代数幾何』
- ２００７年 １月１５日（月曜日） 〜 １月１９日（金曜日）
- 研究代表者：日比孝之（大阪大学）
- プログラム
可換代数と代数幾何は、グレブナー基底の理論的有効性が 実感できる顕著な領域である。当該研究集会では、計算遂行 のための道具ではなく、理論的な定理を証明するための 不可欠な手段としてのグレブナー基底の果たす役割など を探求し、計算可換代数と計算代数幾何における昨今の 研究成果について講演と討論を行う。
- 国際研究集会（４２０教室）
- 『グレブナー基底の理論的有効性と実践的有効性』
- ２００７年 １月２２日（月曜日） 〜 １月２６日（金曜日）
- プログラム
プロジェクト研究の総括的な国際研究集会である。 海外招待講演者１０人による総合講演、国内講演者１０人 による招待講演など。
- 国内／海外講演者による月例セミナー ``Current Trends in Grobner Bases"
講演者の専門領域に属する 研究者のみを聴衆とするのではなく、グレブナー基底の基礎知識を 持つ一般の研究者が理解できるような概観的な話を、講演者自身の 立場から自由に話して頂くことを目的とする。
- 当該プロジェクト研究の総括として、『グレブナー基底の理論的有効性と 実践的有効性』を、国際雑誌 Journal of Pure and Applied Algebra の特集号（Guest Editors: Takayuki Hibi and Rekha Thomas） として出版する。
Back to the Top Page of the Project.Last modified: 2006.12.2