数学入門演習

高校数学と大学数学の橋渡しのための科目です。
集合と論理は高校で一応習いますが、とってつけたような感じの扱いになっています。
特に背理法はその重要性にも関わらず、苦手な高校生が多いようです。集合と論理はしっかりと理解して、数学全般の学習に役立てるべきものです。これらの基礎を数学入門演習で身につけます。

微分積分 I・IIと基礎解析学 I・II

微分積分で学んだ1変数関数に対する微分積分学の内容を前提に、多変数関数に対する微分積分学を学ぶ。
2変数関数の連続性、偏微分可能性、全微分可能性、重積分に関する主な結果を理解し、運用力をつけることを目的とする。

線形代数 I, II

行列とベクトルに関する学問です。
高校では行列とベクトルについては簡単に勉強しただけですが、大学ではより詳しく習います。

連立1次方程式を調べるためには行列が役立ちます。連立1次方程式は解をちょうど1個もつ素直なものばかりではなく、解を持たないものや解を無限個持つものもあります。いつこのような奇妙なことが起きるのか、詳しく学びます。

さらに行列の対角化やその一般化であるジョルダン標準形について学びます。
学年が上がれば実感するように、線形代数はさらに高度な数学の基礎になります。

応用数理入門

線形代数に引き続いて行列の勉強をします。
群というのは本格的な代数学の最初に習うものです。一つ間違えると群の話は抽象的かつ難解になってしまいます。
関学数理では、群が容易に理解できるように、行列という馴染み深い題材を使って学習するようにしました。

関数論入門・複素解析と解析学 II

関数論入門の続きが関数論上級です。関数解析は名前が似ていますが、別の話です。
関数論入門と関数論上級では複素数の関数を扱います。指数関数にしても三角関数にしても、複素数の世界で考える方が性質がよく判るのです。
また、いろいろな定積分を計算するのには複素数を使えば便利です。

関数解析はちょっと難しいのですが、がんばって説明してみます。
関数は三角関数とか指数関数とかそれらを足し合わせたものとか、ものすごくたくさんあります。
そこで、関数たちの集合を考えて、それを「空間」と思うことにします。

それは無限次元の空間になります。この空間の性質を調べるのが関数解析です。これだけだとチンプンカンプンかも知れませんが、1年生の科目から順に真面目に勉強して行けば関数解析が理解できる仕組みになっています。関数解析は微分方程式論にも確率論にも役立っています。

確率統計入門・確率統計 I, 確率統計 II

コイン投げは確率論における古くからの基礎的題材である。
本講義においては、このコイン投げを表す確率空間を定式化し、そのうえで基本的な確率過程であるランダムウォークを確率解析の観点から考察する。
数学としての基礎理論を提示するとともに、その理論の数理ファイナンスへの応用も考察する。

集合と位相

集合については無限集合が山場になります。
無限に関する驚くべき事実をたくさん学ぶでしょう （例えば有理数と整数と同じだけしかないとか、実数は有理数よりずっとたくさんあるとか）。
「位相」は「空間」というものについて深く考えるために必要な概念です。後に習う多くの分野の基礎になります。

幾何入門

高校で学んだ図形と方程式に続く幾何学分野の入門科目です。
平面内の直線、2次曲線、空間内の直線や平面、2次曲面について学びます。

代数入門，代数学 I・II

群・環・体などについて学びます。
なるべく初等的な題材に結び付けて説明してみます。

例えば群について学べば、あみだくじの数学的な構造が判ります。
体について学べば、「5次以上の方程式には解の公式がない」という事実を理解できます。
また、多項式全体の集合が環になっているので、環論を学べば多項式のことがよく判ります。したがって、環論は代数幾何学と密接な関係があります。

幾何学 I・II

大学レベルの幾何では高校の幾何のように直線や円を組み合わせた図形ばかりではなく、抽象的な "図形" （位相空間、多様体）や一般的な曲線・曲面 について調べます。
関学数理では、集合と位相という科目で基礎づけをしてから幾何学 I・II・III・IV で幾何の勉強をします。

解析学 I

古典解析には数々の名作があり、これらは時間をかけて磨きをかけられてきた数学における結晶というべきものである。
本講義においては、フーリエ級数をはじめ古典解析におけるいくつかの名作を題材に、解析学における基礎概念の理解を深めるとともに、理論形成の過程を学ぶ。

常微分方程式，偏微分方程式

「関数 y を微分したら sin x になる。y は何か ? 」 という問題を考えます。
要するに sin x を不定積分せよと言っているわけですが、これを y' = sin x と書くことができます。
y は未知数ならぬ未知関数で、この式を満たす y を求めよというわけです。

この例のように、未知関数とその導関数がみたす関係式を微分方程式といいます。
他の簡単な例としては y'=2y とか y"-5y'+6y= cos x などがあります。

独立変数が一つだけのものを常微分方程式といいます。独立変数がいくつもある場合、いろいろな変数で微分することができます。
このとき微分のことを偏微分と言って 「x で偏微分する」「y で偏微分する」などと言って変数を区別します。

偏微分方程式とは、未知関数 u を偏微分して出来るいろいろな関数が満たす関係式のことです。
常微分方程式も偏微分方程式も、純粋に数学的に興味深いだけでなく、自然科学・社会科学のさまざまな研究に役立つという点でも重要です。

応用数値

これまで、１つの変数の方程式の解を公式や因数分解などを使って求めたり、連立方程式の解を式の変形によって求めることはよくやってきたと思います。
大学においても方程式を解くことは重要な目的の一つとなります。

ですが、現実にある問題を解決するために出てくる方程式は、これまでと同じ手法で厳密に解こうとすると人の手におえないことが殆どです。
そのためにコンピュータを使って近似的な解を求めたり、厳密な解を求めるにしてもコンピュータに計算させるのに適した手法を考えることになります。
こういったことを実現するための数学の理論が数値解析です。

基礎物理学A, 基礎物理学B

基礎物理学Aでは古典力学について学びます。
エネルギーや運動量などについてしっかり理解すると、微分方程式論などの数理科学の勉強が楽になります。

基礎物理学Bでは電磁気学について学びます。
電磁気学は解析学、幾何学と関係が深いので、勉強しておくと数理科学がよく分かるようになります。

代数学 Ⅳ

いくつかの（複素数係数の）多項式の零点集合で表される図形について研究する学問です。
研究対象となる図形を、（多項式の集合である）多項式環などの代数的手法を駆使して研究します。

代数と幾何の融合した研究分野です。フィールズ賞（ノーベル賞に相当する数学分野の国際的賞）を受賞した日本人は、これまで3人いますが、みんな代数幾何学の人です。

確率統計 Ⅳ

確率論や統計学の知識を駆使して金融について調べる学問です。
金融工学と大体同じです。関学数理では、大学院を含めて、数理ファイナンスに力を入れていきます。

応用数理 II

技術上のさまざまな場面で効率を出来るだけ上げるために使われる数学的な手法です。
最適化は工学部で扱うことが多いのですが、関学数理ではこのような科目も教えることにしました。

代数学 III

表現論と呼ばれる理論について学びます。
まるで文学部で学ぶ理論のような名前ですが、表現という言葉を数学では一種独特な意味で使うのです。
何か対称性を持つものがあるときに、それの性質をうまく表す影みたいなものを表現といいます。（ここではひどく漠然とした言葉づかいをしていますが、本当は厳密な定義があります。）
対称性を持つものは数学のあちこちに現れるので、表現論は代数・解析・幾何すべてに関係があります。

幾何学 III

空間の回転などの運動を行列で表し、代数・幾何・解析との関連について学びます。

幾何学 Ⅳ

この講義では、多様体の基本事項について学びます。
多様体は大ざっぱにいえば、関数の微分が定義できるような仕組みをもった一般的な空間で、現代の幾何学や解析学を学ぶ上で欠かせないものです。
ぜひ、幾何学I、II に続いて学習してください。

解析学 III

線形または非線形の微分方程式について、そもそも解はあるのか、解はどのような性質を持つのか、どのように書き表せるのかという問題を考えます。
難解な抽象論を避けて、なるべく具体的な計算に頼りながら議論を進めます。
これまでに扱った題材は、広田の直接法とソリトン、シュヴァルツの超関数、球面調和関数などです。

解析学 Ⅳ

力学系は力学から発展したものですが、力学そのものではありません。
系の時間発展（ものごとが時間とともに変化する様子）を調べるのが力学系であり、微分方程式論にも幾何学にも関係します。
カオスは一見無秩序なように見える力学系です。

確率統計 III

もし株価の動きを正確に予測することができれば、今日割安な株を購入し、明日その株をより高値で売却すれば確実に利益を得ることができます。
果たして、そのようなことが可能なのでしょうか？
確率統計 IIIでは、この可能性を科学的に評価する手法を学びます。

数学特別演習 I ・II と応用数理特別演習 I ・II

4年生のセミナーです。
各教員の研究室に所属して専門的な勉強をします。セミナーのことを、数学コースでは数学特別演習 I ・II、応用数理コースでは応用数理特別演習 I ・II といいます。
どちらも I と II がそれぞれ4単位ずつです。

セミナーは必修ではありませんが、おそらくほとんどの人が履修すると予想しています。
同じ研究室の仲間と一緒にがんばって勉強すれば、仲の良い友人になれるでしょう。
本を読み、判らないところはとことんまで考え抜き、他の学生の前で発表してもらいます。
研究室によってはコンピュータを使って計算することもあるでしょう。

他学科の人たちは深夜まで実験してようやく卒業できるのですから、数理の学生もセミナーの勉強はしっかりやらなければいけません。

コンピュータ演習A, 数式処理演習 I・II

コンピュータ演習Aはワード、エクセル、そしてTeX (数式交じりの文書を書くためのソフト) の使い方を学びます。

数式処理演習Iでは文字式の計算のできる数式処理ソフトの基礎的な勉強をします。
数式処理演習IIでは数式処理ソフトを使って数学的な課題に挑みます。