数列

等差数列の一般項

$\text{初項}a\text{、公差}d\text{の等差数列の第}n\text{項}{a}_n\text{は、}$

${\displaystyle a_n=a+(n-1)d}$

 

等差数列の和

$\text{初項}a\text{の等差数列の初項から第}n\text{項までの和}{S}_n$

1. $\text{末項を}l\text{とすると、}$

   ${\displaystyle S_n=\frac{1}{2}n(a+l)}$

2. $\text{公差を}d\text{とすると、}$

   ${\displaystyle S_n=\frac{1}{2}n\{2a+(n-1)d\}}$

 

等比数列の一般項

$\text{初項}a\text{、公比}r\text{の等比数列の第}n\text{項}{a}_n\text{は、}$

${\displaystyle a_n=a{r}^{n-1}}$

 

等比数列の和

$\text{初項}a\text{、公比}r\text{の等比数列の初項から第}n\text{項までの和}{S}_n$

1. $r\ne 1\text{のとき、}$

   ${\displaystyle S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}}$

2. $r=1\text{のとき、}$

   ${\displaystyle S_n=na}$

 

自然数の平方の和

${\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\dots +n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}$

 

$\sum \text{の性質}$

1.  

   ${\displaystyle \sum _{k=1}^n(a_k+b_k)=\sum _{k=1}^n{a}_k+\sum _{k=1}^n{b}_k}$

2.  

   ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}c{a}_k=c\sum _{k=1}^n{a}_k\mathrm{\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}}\text{ただし、}c\text{は定数}}$

 

数列の和と一般項

$\text{数列}\{a_n\}\text{の初項から第}n\text{項までの和を}{S}_n\text{とするとき、}$

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill a_1& \hfill =\hfill & S_1\hfill \\ \hfill n\ge 2\text{のとき、}\mathrm{\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}}{a}_n& \hfill =\hfill & S_n-S_{n-1}\hfill \end{array}}$

 

階差数列と一般項

$\text{数列}\{a_n\}\text{の階差数列を}\{b_n\}\text{とすると、}$

${\displaystyle n\ge 2\text{のとき、}\mathrm{\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}}{a}_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}{b}_k}$

 

数学的帰納法

$\text{自然数}n\text{を含んだ命題}\text{P}(n)\text{がすべての自然数}n\text{について成り立つことを証明するには、}$

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill \text{(1)}& \hfill \hspace{0.5em}\hfill & \text{P}(1)\text{が成り立つ。}\hfill \\ \hfill \text{(2)}& \hfill \hspace{0.5em}\hfill & \text{P}(k)\text{が成り立つと仮定すると、}\text{P}(k+1)\text{も成り立つ。}\hfill \end{array}}$

を示せばよい。  

 
ベクトル

ベクトルの和

1.  

   ${\displaystyle \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\mathrm{\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}}\text{交換法則}}$

2.  

   ${\displaystyle (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\mathrm{\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}}\text{結合法則}}$

 

ベクトルの実数倍

1.  

   ${\displaystyle k(l\overrightarrow{a})=(kl)\overrightarrow{a}}$

2.  

   ${\displaystyle (k+l)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{a}}$

3.  

   ${\displaystyle k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}}$

 

ベクトルの平行

$\overrightarrow{a}\ne 0\text{、}\overrightarrow{b}\ne 0\text{のとき、}$

${\displaystyle \overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}\text{となる実数}k\text{がある}}$

 

ベクトルの相等と大きさ

1. $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)\text{、}\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)\text{のとき、}$

   ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\iff a_1=b_1,a_2=b_2}$

2. $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)\text{のとき、}$

   ${\displaystyle |\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}}$

 

和、差、実数倍の成分

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill (a_1,a_2)+(b_1,b_2)& \hfill =\hfill & (a_1+b_1,a_2+b_2)\hfill \\ \hfill (a_1,a_2)-(b_1,b_2)& \hfill =\hfill & (a_1-b_1,a_2-b_2)\hfill \\ \hfill k(a_1,a_2)& \hfill =\hfill & (k{a}_1,k{a}_2)\hfill \end{array}}$

 

$\overrightarrow{AB}\text{の成分と大きさ}$

$\text{2点}A(a_1,a_2)\text{ten}B(b_1,b_2)\text{に対して、}$

${\displaystyle \overrightarrow{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2)\mathrm{\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}}|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(b_1-a_1{)}^2+(b_2-a_2{)}^2}}$

 

内積の定義

${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta }$

 

ベクトルの垂直と内積

$\overrightarrow{a}\ne 0\text{、}\overrightarrow{b}\ne 0\text{のとき、}$

${\displaystyle \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=0}$

 

内積と成分

$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)\text{、}\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)\text{のとき、}$

${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2}$

 

ベクトルのなす角

${\displaystyle \cos \theta =\frac{\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}}}$

 

内積の計算法則

1.  

   ${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}·\overrightarrow{a}}$

2.  

   ${\displaystyle \overrightarrow{a}·(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}}$

3.  

   ${\displaystyle \overrightarrow{a}·(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}}$

4.  

   ${\displaystyle (k\overrightarrow{a})·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}·(k\overrightarrow{b})=k(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b})}$

 
数値計算とコンピュータ

中間値の定理

関数 $f(x)$が区間 $[a,b]$で連続であるとき、 $f(a)$と $f(b)$が異符号ならば、方程式 $f(x)=0$は $a$と $b$の間に少なくとも1つ解をもつ。
 

面積の台形公式

${\displaystyle \begin{array}{c}{\int }_b^{a}f(x)\mathrm{dx}\approx \frac{h}{2}[f(x_0)+2\{f(x_1)+f(x_2)+\dots +f(x_{n-1})\}+f(x_n)]\hfill \\ \text{ただし、}h=\frac{b-a}{n}\text{、}{x}_i=a+hi\text{、}i=0,1,2,\dots ,n\hfill \end{array}}$

 
統計とコンピュータ

資料の平均値

${\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i}$

 
参考文献

山本芳彦 編『高等学校 数学B』(啓林館、2003)

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