式の計算と方程式、図形と方程式、三角関数、指数関数と対数関数、微分と積分


式の計算と方程式、図形と方程式、三角関数、指数関数と対数関数、微分と積分
最終更新日：2009月11月18日

式の計算と方程式

商と余り

A = B Q + R (R の次数) < (B の次数)

大小の判定

a > b \Leftrightarrow a - b > 0

平方の大小

a > 0

b > 0

のとき、

a > b \Leftrightarrow a^{2} > b^{2}

a \geq b \Leftrightarrow a^{2} \geq b^{2}

相加平均と相乗平均

a > 0

b > 0

のとき、

\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}

等号が成り立つのは、

a = b

のときである。

負の数の平方根

a > 0

のとき、

\sqrt{- a} = \sqrt{a} i

とくに、

\sqrt{- 1} = i

$x^{2} = k$ の解

実数

k

の符号にかかわらず、

x^{2} = k

の解は、

x = \pm \sqrt{k}

複素数の相等

a

b

c

d

が実数のとき、

a + b i = c + d i \Leftrightarrow a = c, b = d

とくに、

a + b i = 0 \Leftrightarrow a = 0, b = 0

2次方程式の解の公式

2次方程式

a x^{2} + b x + c = 0

の解は、

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

2次方程式の解の判別

D = b^{2} - 4 a c > 0 \Leftrightarrow 異なる2つの実数解をもつ

D = b^{2} - 4 a c = 0 \Leftrightarrow 重解（実数解）をもつ

D = b^{2} - 4 a c < 0 \Leftrightarrow 異なる2つの虚数解をもつ

2次方程式の解と係数の関係

2次方程式

a x^{2} + b x + c = 0

の2つの解を

α

、

β

とすると、

α + β = - \frac{b}{a}, α β = \frac{c}{a}

解と因数分解

2次方程式

a x^{2} + b x + c = 0

の2つの解を

α

、

β

とすると、

a x^{2} + b x + c = a (x - α) (x - β)

剰余の定理

整式

P (x)

を

x - a

で割ったときの余りは、

P (a)

に等しい。

因数定理

x - a が整式 P (x) の因数 \Leftrightarrow P (a) = 0

図形と方程式

2点間の距離

2点A(

x_{1}, y_{1}

)、B(

x_{2}, y_{2}

)間の距離は、

AB = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}

とくに、原点Oと点A(

x_{1}, y_{1}

)の距離は、

OA = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}

内分点・外分点

2点A(

x_{1}, y_{1}

)、B(

x_{2}, y_{2}

)に対して、線分ABを

m : n

に内分する点の座標は、

(\frac{n x_{1} + m x_{2}}{m + n}, \frac{n y_{1} + m y_{2}}{m + n})

m : n

に内分する点の座標は、

(\frac{- n x_{1} + m x_{2}}{m + n}, \frac{- n y_{1} + m y_{2}}{m + n})

三角形の重心

3点A(

x_{1}, y_{1}

)、B(

x_{2}, y_{2}

)、C(

x_{3}, y_{3}

)を頂点とする

▵

ABCの重心は、

(\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3}, \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3})

1点と傾きの与えられた直線の方程式

点

(x_{1}, y_{1})

を通り、傾き

m

の直線の方程式は、

y - y_{1} = m (x - x_{1})

2点を通る直線の方程式

異なる2点

(x_{1}, y_{1})

、

(x_{2}, y_{2})

を通る直線の方程式は、

x_{1} \neq x_{2} のとき、, y - y_{1} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} (x - x_{1})

x_{1} = x_{2} のとき、, x = x_{1}

2直線の平行

2直線

y = m x + n

and

y = m' x + n'

について、

平行である \Leftrightarrow m = m', n \neq n'

一致する \Leftrightarrow m = m', n = n'

2直線の垂直

2直線 y = m x + n 、 y = m' x + n' が垂直 \Leftrightarrow m m' = - 1

点と直線の距離

点 (x_{1}, y_{1}) と直線 a x + b y + c = 0 の距離 d は、

d = \frac{| a x_{1} + b y_{1} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

円の方程式

\begin{matrix} 中心 (a, b) 、半径 r の円の方程式は、 (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} \\ 原点を中心とする半径 r の円の方程式は、 x^{2} + y^{2} = r^{2} \end{matrix}

円の接線の方程式

円 x^{2} + y^{2} = r^{2} 上の点 (x_{1}, y_{1}) における接線の方程式は、

x_{1} x + y_{1} y = r^{2}

$y > m x + n 、 y < m x + n の表す領域$

\begin{matrix} 不等式 y > m x + n の表す領域は、 直線 y = m + n の上側 \\ 不等式 y < m x + n の表す領域は、 直線 y = m + n の下側 \end{matrix}

$x^{2} + y^{2} < r^{2} 、 x^{2} + y^{2} > r^{2} の表す領域$

\begin{matrix} 不等式 x^{2} + y^{2} < r^{2} の表す領域は、 円 x^{2} + y^{2} = r^{2} の内部 \\ 不等式 x^{2} + y^{2} > r^{2} の表す領域は、 円 x^{2} + y^{2} = r^{2} の外部 \end{matrix}

三角関数

三角関数の間の関係

\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}, \sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1, 1 + \tan^{2} θ = \frac{1}{\cos^{2} θ}

$θ + 2 n π$ の三角関数

\sin (θ + 2 n π) = \sin θ, \cos (θ + 2 n π) = \cos θ, \tan (θ + 2 n π) = \tan θ

$- θ$ の三角関数

\sin (- θ) = - \sin θ, \cos (- θ) = \cos θ, \tan (- θ) = - \tan θ

$θ + π$ の三角関数

\sin (θ + π) = - \sin θ, \cos (θ + π) = - \cos θ, \tan (θ + π) = \tan θ

$θ + \frac{π}{2}$ の三角関数

\sin (θ + \frac{π}{2}) = - \cos θ, \cos (θ + \frac{π}{2}) = - \sin θ, \tan (θ + \frac{π}{2}) = - \frac{1}{\tan θ}

正弦・余弦・正接の加法定理

$\sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β$
$\sin (α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β$
$\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β$
$\cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β$
$\tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β}, \tan (α - β) = \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \tan β}$

2倍角の公式

$\sin 2 α = 2 \sin α \cos α$
$\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α = 2 \cos^{2} α - 1 = 1 - 2 \sin^{2} α$
$\tan 2 α = \frac{2 \tan α}{1 - \tan^{2} α}$

半角の公式

\sin^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 - \cos α}{2}, \cos^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 + \cos α}{2}

三角関数の合成

a \sin θ + b \cos θ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (θ + α)

ただし、

\cos α = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

、

\sin α = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

指数関数と対数関数

0や負の整数の指数

a \neq 0

で、

n

が正の整数のとき、

a^{0} = 1, a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

指数法則

a \neq 0

、

b \neq 0

で、

m

、

n

が整数のとき、

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$
$(a^{m})^{n} = a^{mn}$
$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$
$a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$
${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$

累乗根

a > 0

、

b > 0

で、

m

、

n

、

p

が正の整数のとき、

$(\sqrt[m]{a})^{m} = a$
$\sqrt[m]{a} \sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{ab}$
$\frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[m]{b}} = \sqrt[m]{a / b}$
$(\sqrt[m]{a})^{n} = \sqrt[m]{a^{n}}$
$\sqrt[m]{\sqrt[p]{a}} = \sqrt[mp]{a}$
$\sqrt[m]{a^{n}} = \sqrt[mp]{a^{np}}$

分数の指数

a > 0

で、

n

が整数、

m

が正の整数のとき、

a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^{n}} = (\sqrt[m]{a})^{n}, とくに、 a^{\frac{1}{m}} = \sqrt[m]{a}

指数法則

a > 0

、

b > 0

で、

p

、

q

が有理数のとき、

$a^{p} a^{q} = a^{p + q}$
$(a^{p})^{q} = a^{pq}$
$(ab)^{p} = a^{p} b^{p}$
$a^{p} \div a^{q} = a^{p - q}$
${(\frac{a}{b})}^{p} = \frac{a^{p}}{b^{p}}$

対数と指数の関係

a > 0

、

a \neq 1

のとき、

\log_{a} M = p ⟺ M = a^{p}

積、商、累乗の対数

M > 0

、

N > 0

のとき、

$\log_{a} MN = \log_{a} M + \log_{a} N$
$\log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N$
$\log_{a} M^{r} = r \log_{a} M$

底の変換公式

a

、

b

、

c

が正の数で、

a \neq 1

、

c \neq 1

のとき、

\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}

微分と積分

微分係数

f' (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

微分係数と接線の傾き

関数

y = f (x)

の

x = a

における微分係数

f' (a)

は、この関数のグラフ上の点

(a, f (a))

における接線の傾きである。

導関数

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

導関数の公式

$n = 1, 2, 3$ のとき、 $(x^{n})' = {nx}^{n - 1}$
$k$ が定数のとき、 $(k)' = 0$
$k$ が定数で、 $y = kf (x)$ のとき、 $y' = kf' (x)$
$y = f (x) + g (x)$ のとき、 $y' = f' (x) + g' (x)$
$y = f (x) - g (x)$ のとき、 $y' = f' (x) - g' (x)$

接線の方程式

曲線

y = f (x)

上の点

(a, f (a))

における接線の方程式は、

y - f (a) = f' (a) (x - a)

$f' (x)$ の符号と関数の値の増減

関数

y = f (x)

の値の増減は、次のようになる。

$f' (x) > 0$ となる $x$ の値の範囲で $y$ の値は増加する。
$f' (x) < 0$ となる $x$ の値の範囲で $y$ の値は減少する。

$f (x)$ の極大・極小

関数

f (x)

について、

f' (x) = 0

となる

x

の値の前後で

f' (x)

の符号が、

正から負に変わるとき、 $f (x)$ は極大になり、
負から正に変わるとき、 $f (x)$ は極小になる。

不定積分

F' (x) = f (x)

のとき、

\int f (x) dx = F (x) + C

$x^{n}$ の不定積分

\int x^{n} dx = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C （ C は積分定数）

定数倍、和、差の不定積分

\int kf (x) dx = k \int f (x) dx ただし、 k は定数

\int {f (x) + g (x)} dx = \int f (x) dx + \int g (x) dx

\int {f (x) - g (x)} dx = \int f (x) dx - \int g (x) dx

定積分の定義

f (x)

の原始関数の1つを

F (x)

とすると、

\int_{b}^{a} f (x) dx = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

定積分の性質(1)

1. $\int_{a}^{a} f (x) dx = 0$
2. $\int_{b}^{a} f (x) dx = - \int_{a}^{b} f (x) dx$
3. $\int_{a}^{b} f (x) dx = \int_{a}^{c} f (x) dx + \int_{c}^{b} f (x) dx$

定積分の性質(2)

4. $\int_{a}^{b} kf (x) dx = k \int_{a}^{b} f (x) dx ただし、 k は定数$
5. $\int_{a}^{b} {f (x) + g (x)} dx = \int_{a}^{b} f (x) dx + \int_{a}^{b} g (x) dx$
6. $\int_{a}^{b} {f (x) - g (x)} dx = \int_{a}^{b} f (x) dx - \int_{a}^{b} g (x) dx$

微分と積分の関係

a

が定数のとき、

\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f (t) dt = f (x)

面積と定積分

a \leq x \leq b

の範囲で

f (x) \geq 0

のとき、

S = \int_{a}^{b} f (x) dx

2曲線 $y = f (x)$ 、 $y = g (x)$ 間の面積

a \leq x \leq b

の範囲で

f (x) \geq g (x)

のとき、

S = \int_{a}^{b} {f (x) - g (x)} dx

参考文献

山本芳彦編『高等学校数学II』(啓林館、2003)

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