■研究について述べます．

研究内容の概略その1 （高校生から大学2年生向け）

独立変数が複数ある関数を考えます. xy や sin ( x² + y³ ) などです． x で微分することも yで微分することもできます．この場合, 単に微分といわずに偏微分といいます． ある関数を偏微分したものを偏導関数といいます．偏導関数たちの間の関係式を偏微分方程式といいます．偏微分方程式の性質を調べるのが偏微分方程式論です．

未知の関数を含む積分に関する方程式を積分方程式といいます．

複素数に複素数を対応させる複素関数を考えます．複素関数の性質を調べるのが複素解析です．複素関数論ともいいます．略して単に関数論ということもあります．

三角関数に関する微分積分を押し進めて出来た分野・手法をフーリエ解析と言います．

私は複素解析とフーリエ解析を使って偏微分方程式の性質を調べるという研究をしています．

微分方程式と漸化式を混ぜたもの (微分差分方程式) の研究もしています．また，積分方程式の研究もしています．

研究のネタは物理の本で見つけることもあります．また，応用数理の雑誌に論文を発表することもあります． 面白いものは何でも取り入れるようにしています．

研究内容の概略その2 (ある程度の知識のある方向け)

• 偏微分方程式を研究しています． ここ数年は, 数理物理と応用数理を念頭に置きつつ, 非線型偏微分方程式・非線型微分差分方程式，たたみ込み方程式を中心に研究しています．
• もともとは超関数の勉強をしていましたが，複素領域の偏微分方程式に関心が移りました． それ以来, 確定特異点を多変数化したものを調べたり，トポロジーの道具を使ったり， 多変数関数論の積分公式に関係する研究をしたり, バナッハ環における不動点定理を応用したり，いろいろやっていますが (詳しい論文リスト)， フーリエ解析だけでなく複素解析の手法も取り入れて偏微分方程式を研究するという問題意識は一貫しています．
• 戸田盛和先生や和達三樹先生の本では積分方程式論を使って可積分系に対する逆散乱法を展開しています．ところが，Ablowitz らの本にあるように関数論寄りのやり方でも逆散乱法は展開できます．それに基づいた Deift-Zhou の非線型鞍点法によって，可積分な方程式の時間無限大での挙動がわかります.
• Camassa-Holm 方程式の仲間を研究するにあたってはこれまでよりも実解析寄りの手法を用いました．
• 特殊関数を使いたいと思っていたのですが，最近になってたたみ込み方程式の研究で Bessel 関数を使うようになりました．

最近の論文

• Local and global analyticity for a generalized Camassa-Holm system, Funkcialaj Ekvacioj, 2023 Volume 66 Issue 3 Pages 159-193.

  We solve the analytic Cauchy problem for the generalized two-component Camassa-Holm system introduced by R. M. Chen and Y. Liu. We show the existence of a unique local/global-in-time analytic solution under certain conditions.

• Generalized spherical mean value operators on Euclidean space, Tsukuba J. Math. 45(1)

  We consider the Neumann version of the spherical mean value operator and its variants in the space of smooth functions, distributions and compactly supported ones. Surjectivity and range characterization issues are addressed from the viewpoint of convolution equations.

• Local and global analyticity for μ-Camassa-Holm equations, Discrete Contin. Dyn. Syst. 40 (2020), no. 7, 4307-4340.

  We solve Cauchy problems for some μ-Camassa-Holm integro-partial differential equations in the analytic category. The equations to be considered are μCH of Khesin-Lenells-Misiolek, μDP of Lenells-Misiolek-Tiglay, the higher-order μCH of Wang-Li-Qiao and the non-quasilinear version of Qu-Fu-Liu. We prove the unique local solvability of the Cauchy problems and provide an estimate of the lifespan of the solutions. Moreover, we show the existence of a unique global-in-time analytic solution for μCH, μDP and the higher-order μCH. The present work is the first result of such a global nature for these equations.

• Long-time asymptotics for the integrable discrete nonlinear Schrödinger equation: the focusing case, Func.Ekvac. 62 巻 (2019) 2 号

  focusing な離散非線型シュレーディンガー方程式に非線型鞍点法を適用して，時間無限大における解の漸近挙動を求めました．多重ソリトンに摂動がついた形になります．

• Asymptotic expression for certain hypergeometric polynomials of type ₃F_1,, Kumamoto Journal of Mathematics, Vol. 32 (2019), pp. 1-8 (Shotaro Nakaiさんとの共著)

  ある種の超幾何型多項式の漸近展開について調べました．中井さんの修士論文を基にしています．

• Riemann-Hilbert factorization of matrices invariant under inversion in a circle, Proceeding of the American Mathematical Society, Vol. 147 (5), pp.2147-2157, (May 2019) プレプリント

  ある種の行列値関数の因数分解について調べました．関数解析を使って関数論の問題を解きました．離散非線型シュレーディンガー方程式と関係があります．

• Long-time asymptotics for the defocusing integrable discrete nonlinear Schrödinger equation II, SIGMA 11 (2015), 020

  defocusing な離散非線型シュレーディンガー方程式に非線型鞍点法を適用して，時間無限大における解の漸近挙動を求めました．

• Long-time asymptotics for the defocusing integrable discrete nonlinear Schrödinger equation, プレプリント (少し改訂したものが Journal of the Mathematical Society of Japan, Vol. 66, No. 3, 765-803 (2014)に掲載されました.)

  defocusing な離散非線型シュレーディンガー方程式に非線型鞍点法を適用して，時間無限大における解の漸近挙動を求めました．上記の II はこの論文の続きです．

昔の論文：毛色の違ったものをいくつか

• Local existence for nonlinear Cauchy problems with small analytic data, Journal of Mathematical Sciences, the University of Tokyo, 18 (2011), 51-65.

  下記の Nonlinear Cauchy problems with small analytic data (2006) を発展させたもの．非線型項に絶対値を含むものも扱えるようになりました．

• 熱方程式の逆問題--春木・磯論文(8巻1号)の条件の緩和について, 日本応用数理学会論文誌, 18 (2) (2008) 267-270.

  熱方程式に対する初期値・境界値問題の逆問題に関して, ラプラス変換と Phragmen-Lindelöf の定理を用いて, 春木・磯両先生が面白い結果を出されていました. 私がこの種の道具に強いわけではありませんが，耳学問で多少のことは知っていたので, その方面で何か新しいことはできないかと考えてみました．結局, 昔勉強した超関数の知識が役立ちました．

• Logarithmic singularities of solutions to nonlinear partial differential equations, 田原秀敏先生 (上智大学) と共著, Journal of the Mathematical Society of Japan, 60 (2) (2008), 603-630． arxiv,

  ある種の非線型波動方程式について， 主要項が対数関数で表されるような特異解を構成したことがあります (Proceedings of the American Mathmatical Society 2007)．この仕事を見た田原氏が, 小林隆夫先生（東京理科大）の仕事との関係に気づかれました． 結局, ある種の方程式について対数関数に単項式を掛けた形の主要項を持つ特異解を構成できました. ほぼ任意の非特性面に沿ってこのような解が構成できます． これは m 階方程式に関する一般論なので, 例はたくさん作れます. 証明には Kichanassamy-Littman （独立して小林先生）のアイデアである Fuchsian Reduction を用いました．すなわち， 元の方程式をフックス型偏微分方程式に帰着して考察しました．

• Nonlinear Cauchy problems with small analytic data, , Proceedings of the American Mathematical Society. 134(11), 3353--3361 (2006)

  小さい初期値をもつコーシー問題の実解析解の存在時間を下から評価しました. 適当なバナッハ環を構成して縮小写像の不動点定理を使いました. バナッハ環の構成には優級数を使います. この方法は，私は Wagschal 先生の論文で勉強しました．いったいこの方法がどのくらい古くからあるのか気になっていますが, まだ調べていません. (最初は Gevrey あたり? )
  小さい初期値という定式化は私の身の回りでは誰も使いませんが, フーリエ解析を使って非線型波動方程式や非線型シュレーディンガー方程式を調べている人たちの話にはしょっちゅう出てきます. Gourdin-Mechab の論文を見て, 実解析カテゴリでも小さい初期値が扱えることを知り, 非線型波動方程式を含むあるクラスについて考察しました.

• Fourier-Ehrenpreis integral formula for harmonic functions, , Journal of the Mathematical Society of Japan, 56(3), 729-735 (2004)

  n 変数調和関数を指数関数の重ね合わせで表す公式（積分表示式）を導きました. 昔からあってもよさそうな話ですが, なぜか誰もやっていませんでした．私は Berndtsson-Passare などの多変数関数論の論文に刺激されてこの問題を考えました. 積分表示式は微分形式で書きます.
  これ以前に3変数の場合に限って書いた論文がありました．そのときは定式化が良くなかったので手計算ではどうにもならず，Maple を使って何とか計算しました． 論文には「Maple の difforms パッケージで計算したらこうなる」と書いてJMSJ (日本数学会のジャーナル) に投稿したら無事掲載されました(2002年)．
  JMSJ 2004年の論文では, 球面のタンジェント・バンドルを使ったら見通しが良くなって，手計算だけで証明できるようになりました.

• Ramified Cauchy problem for a class of Fuchsian operators with tangent characteristics, , Journal de Mathematiques Pures et Appliquées, 79(3), 271-294 (2000)

  確定特異点型常微分方程式を多変数化したフックス型偏微分方程式は私の主な研究テーマです. この論文は2階線型のフックス型偏微分方程式を複素領域で考えたものです. 特性曲面の周りで分岐する解を構成しました. 解は級数の形で与えられ, 各項は, 非有界な係数をもつ微分形式をm次元単体の上で積分した値です． 普遍被覆空間や変位レトラクトなど，トポロジーの道具を使います. Claude Wagschal, 小林隆夫両先生の影響を強く受けています.

• Branching of singularities for some second or third order microhyperbolic operators , Journal of Mathematical Sciences, Univ. of Tokyo, 2, 671-749 (1995)

  片岡清臣先生の指導のもとで書いた博士論文です. 複素領域でmicrodifferential operators の計算をしました．評価の技法を身につけようと思って浜田雄策先生， Wagschal先生 らの論文を読んだところ大変面白く, 研究テーマは複素領域の偏微分方程式に移って行きました.
  特異性 (解析的波面集合) の分岐については，片岡セミナーの後輩である千葉康生さんが研究して，かなり詳しいことが判ってきています.

詳しい論文リスト

数学者の業績を調べるにはアメリカ数学会のデータベース (レビューを含む) であるMathSciNet が便利です. 関学神戸三田キャンパスのネットワークの任意の場所から見られると思います (IEを推奨します). 有料サービスなので, 契約していないところからは見られません.

MR Lookup というのもあります．無料ですが，あまり便利ではありません.

他に Zentralblatt MATH というのもあります．無料で使えます.

1. Branching of singularities for some second or third order microhyperbolic operators , Journal of Mathematical Sciences, Univ. of Tokyo, 2, 671-749 (1995)
2. A characteristic Cauchy problem in the complex domain , 岡田靖則氏と共著, Journal de Mathematiques Pures et Appliquées, 75, 559-567 (1996)
3. Characteristic Cauchy problems in the complex domain , 岡田靖則氏と共著, New Trends in Microlocal Analysis (Springer), 69-80 (1997)
4. The essential singularity of the solution of a characteristic Cauchy problem , Publications of RIMS, Kyoto University, 32(3), 539-554 (1996)
5. Nonlinear singular first order partial differential equations whose characteristic exponent takes a positive integral value , Publications of RIMS, Kyoto University, 33(5), 801-812 (1997)
6. Singularities in Fuchsian Cauchy problems with holomorphic data , Publications of RIMS, Kyoto University, 34(2), 179-190 (1998)
7. Ramified Cauchy problem for a class of Fuchsian operators with tangent characteristics, , Journal de Mathematiques Pures et Appliquées, 79(3), 271-294 (2000)
8. Global Fuchsian Cauchy problem, , Journal of Mathematical Sciences, Univ. of Tokyo, 7, 147-162 (2000)
9. Fuchsian Cauchy Problem for Entire Functions, , Proceedings of the Second ISAAC Congress, Kluwer, Vol.2, 849-854.
10. Fourier integral representation of harmonic functions in terms of a current, , Journal of the Mathematical Society of Japan, 54(4), 901- 909 (2002)
11. Fourier-Ehrenpreis integral formula for harmonic functions, , Journal of the Mathematical Society of Japan, 56(3), 729-735 (2004)
12. Nonlinear Cauchy problems with small analytic data, , Proceedings of the American Mathematical Society. 134(11), 3353--3361 (2006)
13. Nonlinear wave equations and singular solutions, , プレプリント, Proceedings of the American Mathematical Society, 135 , no. 11, 3659-3667 (2007)
14. Logarithmic singularities of solutions to nonlinear partial differential equations, プレプリント, 田原秀敏氏と共著, Journal of the Mathematical Society of Japan, 60(2) (2008), 603-630．
15. Nonlinear wave equations and Fuchsian equations, RIMS Kôkyûroku Bessatsu B5: Algebraic Analysis and the Exact WKB Analysis for Systems of Differential Equations, 1-6 (2008)
16. 熱方程式の逆問題--春木・磯論文(8巻1号)の条件の緩和について, 日本応用数理学会論文誌, 18 (2) (2008) 267-270.
17. Local Existence for Nonlinear Cauchy Problems with Small Analytic Data, Journal of Mathematical Sciences, University of Tokyo, 18 (2011), 51-65.
18. Long-time asymptotics for the defocusing integrable discrete nonlinear Schrödinger equation, プレプリント
19. Sequences of integrals in experimental mathematics, Proceeding of the Seventeenth Asian Technology Conference in Mathematics, 134-140 (2012),
20. Nonlinear Cauchy problems with small analytic data and the lifespan of their solutions, Formal and analytic solutions of differential and difference equatinos, Banach Center Publications, Vol. 97, 153-160 (2013).
21. Nonlinear partial differential equations and logarithmic singularities, RIMS Kokyuroku Bessatsu B37: Exact WKB Analysis and Microlocal Analysis, 203-209 (2013).
22. A Banach algebra and Cauchy problems with small analytic data, RIMS Kokyuroku Bessatsu B40: Recent development of micro-local analysis 　for the theory of asymptotic analysis, 15-20 (2013).
23. Asymptotic behavior of solutions of defocusing integrable discrete nonlinear Schrödinger equation, Front. Math. China 8(5), 1077-1083 (2013).
24. Inverse scattering and the long-time asymptotics of the defocusing integrable discrete nonlinear Schrödinger equation, 数理解析研究所講究録1861, 11-16 (2014)．
25. Long-time asymptotics for the defocusing integrable discrete nonlinear Schrödinger equation, J. Math. Soc. Japan Vol. 66, No. 3, 765-803 (2014)
26. Long-time asymptotics for the defocusing integrable discrete nonlinear Schrödinger equation II, SIGMA 11 (2015), 020
27. Riemann-Hilbert factorization of matrices invariant under inversion in a circle, Proceeding of the American Mathematical Society, Volume 147, Number 5, 2147?2157, (May 2019)
28. Long-time Asymptotics for the Integrable Discrete Nonlinear Schrödinger Equation: the Focusing Case, Funkcialaj Ekvacioj, 62 (2019) 227?253.
29. Asymptotic expression for certain hypergeometric polynomials of type 3F1, , Kumamoto Journal of Mathematics, Volume 32, (2019), 1-8. (中井翔太郎氏との共著)
30. Local and global analyticity for $\mu$-Camassa-Holm equations , Discrete Contin. Dyn. Syst. 40 (2020), no. 7, 4307?4340.
31. Generalized spherical mean value operators on Euclidean space , Tsukuba Journal of Mathematics Vol.45, No.1 (2021), 37-50.